动点最值：难度逆天，求当S▲BCD最大时，∠CBD=？

题目：如图，半圆弧上一动点C，做直径AB垂线于点D，连接BC，求，当▲BCD面积最大时，∠CBD的度数？

解法1：转换为命题：求圆内接三角形ABC的面积，当为正三角形时面积最大。

S▲ABC =absinC/2=(2rsinA)(2rsinB)sinC/2=2r*r*sinAsinBsinC，转化成求sinAsinBsinC的最大值。sinAsinBsinC≦ ((sin+AsinB+sinC)/3)3≦(sin((A+B+C)/3))3。当A=B=C时等号成立。即▲ABC为正三角形时面积最大。则对于原题来说，将半圆补乘整圆即可求得，故，原题中：当▲BCD面积最大时，∠CBD=30°。

解法2：令∠CBD=β，AB=2R则BD=2R*cosβ*cosβ，CD=2R*cosβ*sinβ，S▲BCD=2R2*cosβ2*cosβ*sinβ。由均值不等式可得到：?*cos2β*1/3cos2β*1/3cos2β*sinβ2≤1/256，仅当?*cos2β=sin2β，即tgβ=√3/3，故：β=30度。

解法3：

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